本文翻譯/改寫自：Arfken & Weber (2005). Mathematical Methods for Physicists (International Edition; Sixth Edition), p.622-623.

考慮一個一般形式的二階線性微分算子 ℒ 作用於函數 u(x) 上：

其中 D 是微分算子 d/dx。係數 p₀(x)、p₁(x)、p₂(x) 是 x 的實函數，定義在我們感興趣的區域 a ≤ x ≤ b 上，且 pᵢ (x) 的前 2 − i 階導數是連續的。令(1)式為零得到的方程式 ℒu(x) = 0，與二階線性齊次方程式的一般形式

比較，可得到 P(x) = p₁(x)/p₀(x) 和 Q(x) = p₂(x)/p₀(x)。因此，對於a < x < b，p₀(x) 必不為零。根據定義，p₀(x) 的零點(zeros)就是奇點(singular points)。而「對於a < x < b，p₀(x) 必不為零」這一陳述意謂著，區間 [a, b] 內部不可以有奇點，不過區間的邊界上卻可能有（也常常有）奇點。

對一個線性算子 ℒ 而言，一個矩陣的二次型的類比是積分

其中函數 u(x) 上的撇號照例代表導數，而且為了方便起見， u(x) 取為實函數。如果我們對(3)式進行一次或兩次的分部積分，把導數移到第一個因式 u 上，就得到等價的式子（自行驗證！）

如果我們要求對所有（二次可微的）函數 u，(3)式和(4)式裡的積分要等同，則被積函數應該相等。故我們比較(3)式中的被積函數

和(4)式中的被積函數

兩者應相等，故

或用下面這個更簡單的條件

使用(5)式當條件的好處是，會讓(3)式裡含邊界 x = a 和 x = b 的那一項為零。

由於用矩陣的轉置做類比，我們可以替(4)式中的線性算子定義一個很方便的運算子，叫做伴隨算子(adjoint operator)

若採用這樣子定義出來的伴隨算子\bar{ℒ}，我們已經證明了，如果(5)式的條件滿足，則

用同樣的步驟，我們可以證明：

如果(5)式的條件滿足，ℒ 還會更一般地滿足 ℒ = \bar{ℒ}，或者

【證明】
利用(5)式，把(6)式中的 p₀′(x) 用 p₁(x) 取代，

如此便證得 ℒ = \bar{ℒ} ，把這結果代入(7)式，便證得(8)式。◪

用 p₀′(x) 取代(9)式第二行第一式的 p₁(x)，且用鎖鏈律將前兩項合併，另外用 p(x) 取代 p₀(x)，用 q(x) 取代 p₂(x)，以避免不必要的下標，於是得到

當 ℒ = \bar{ℒ} 時，我們稱運算子 ℒ 是自伴的(self-adjoint)。(10)式的形式可以讓我們在計算(4)式的分部積分時，不會遇到已積分項(integrated terms?)。注意，一個（線性）算子通常不是自伴的；它的自伴性(adjointness)取決於「該算子所作用的函數空間的性質」和「邊界條件」。

勒壤得方程式(Legendre’s equation)和線性振子方程式是自伴的，但其它像是拉蓋爾(Laguerre)和厄米特方程式(Hermite equations)就不是自伴的。不過，「二階線性自伴微分方程」的理論可以說是完美而一般性的，因為

我們總是可以將非自伴算子(non-self-adjoint)轉換成所需的自伴形式。

【證明】
考慮(1)式的線性算子 ℒ ，但假設 p₀′ ≠ p₁。如果我們將 ℒ 乘上 f(x)/p₀(x)，

並要求(11)式中的 u′ 項係數等於 f′，這樣(11)式就成為自伴方程式。這樣的要求使 f 滿足一階方程式

解(12)式，就得到

於是我們知道把 ℒ 乘上

就會得到（自行驗證！）

(15)式明顯是自伴的（見(10)式）。◪

注意(11)到(15)諸式分母中的 p₀(x) ，這就是為什麼我們要求 p₀(x) ≠ 0，a < x < b。