向量分析

向量微分之「閃亮三姐妹」

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向量分析又稱向量微積分。學習電磁學或流體力學的人，一開始可能會被倒三角形的向量算子 \boldsymbol\nabla 給嚇到，它可以帶有向量的性質，可以衍生出不同的微分運算——梯度（gradient）、散度（divergence）、旋度（curl）。清大物理系教「應用數學一」的洪在明教授把它們稱為「閃亮三姐妹」，梯度是小妹，散度是二姐，旋度是大姐，利用三姐妹的「地位」和「所站的位置」，就可以方便記憶像下面這種的積法則：

為什麼電磁學和流體力學會應用大量的向量分析？因為它們是處理「場」的學問，例如電磁學中有電場、磁場、電位、磁向量位。知名的馬克士威方程組最初是個二十個方程式的複雜方程組，使用向量分析「美顏」之後，變成對稱、優雅的現代版本：

「場」可以直觀地理解成「多變量函數」。簡單來說，只要你給「場」一組變量（例如空間中的座標、時間），「場」就給你唯一一個函數值（純量）或一組函數值（向量的各分量）。寫稍微抽象一點，場就是 \mathbf{F}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n。在向量分析中，我們常常交替使用場和函數這兩種講法，指的都是同一種東西。

對於一個純量場，我們求它的梯度，會得到純量場「增加的程度和增加的方向」。對於一個向量場，我們如果去求它的散度和旋度，分別會得到向量場「發散的程度」和「旋轉的程度與旋轉的方向」。基本上我覺得三個名詞的中文翻譯都很到位。

本文我參考鄒兆南《向量與張量分析》和林琦焜《向量分析》的編排，重新列舉向量分析的定義、定理、公式，視情況提供證明，書中的部分記號也被我修改成物理、工程等領域比較習慣的形式。

本文的公式均使用直角坐標系（Cartesian coordinates）表示。

本文所提及的函數我都先預設成可微分（differentiable）而且是從 \mathbf{R}^n 映射到 \mathbf{R}^n，如有例外再講明。對於非數學系的人來說，這種假設實在令我們鬆一口氣！XD

小妹：梯度

純量場在某個點的梯度指的是它在該點「增加的程度和增加的方向」。

定義1（方向導數）

純量場 \phi(\mathbf{x}) 在 \mathbf{x} 點沿著單位向量 \hat{\mathbf{v}} 的方向導數（directional derivative），記為 \nabla_{\hat{\mathbf{v}}}\phi(\mathbf{x}) 或 \dfrac{\partial \phi(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v}}，定義為

\displaystyle \nabla_{\hat{\mathbf{v}}}\phi(\mathbf{x})=\lim_{h\to0}\frac{\phi(\mathbf{x}+h\hat{\mathbf{v}})-\phi(\mathbf{x})}{h}

評註

  1. 方向導數的記號有很多，這邊只挑選兩個我看得比較順眼的，不過方向導數好像更常被當成由梯度衍生的定義（用定理2）。
  2. 關於方向導數定義，我們這裡是要求成沿著單位向量，有的人則是定義成沿著任何向量都可以，這時上式只需將 \hat{ \mathbf{v}} 改成 \mathbf{v} 即可。
  3. 方向導數是純量，所以我的向量算子不用粗體：\nabla。

定義2（梯度）

純量場 \phi(\mathbf{x}) 在 \mathbf{x} 點的梯度（gradient）是一個向量場，記為 \boldsymbol\nabla \phi 或 \text{grad}\,\phi，定義為

\displaystyle \boldsymbol\nabla \phi=\frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{\boldsymbol\i}+ \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{\boldsymbol\j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}

評註

  1. 梯度是一種可把純量場變成向量場的運算。
  2. 梯度是向量，所以我自己（還有某些比較龜毛的教科書）習慣將向量算子寫成粗體：\boldsymbol\nabla，手寫的時候就寫成 \vec{\nabla}。
  3. 向量算子可以定義成 \boldsymbol\nabla\equiv\hat{\boldsymbol\i}\frac{\partial}{\partial x}+ \hat{\boldsymbol\j}\frac{\partial}{\partial y}+ \hat{\mathbf{k}}\frac{\partial}{\partial z}，每一個偏導數算子 \frac{\partial}{\partial x_i} 後面都去接你想做運算的函數，單位向量移到前方不影響偏導數，這形式也會在定義散度和旋度時用到。

定理1（梯度的方向）

若 \boldsymbol\nabla \phi(\mathbf{x}) 為純量場 \phi(x,y,z) 在 \mathbf{x} 點的梯度 ，則：

  1. \boldsymbol\nabla \phi(\mathbf{x}_0) 垂直於 \phi 在 \mathbf{x}_0 的等位面 \phi(\mathbf{x})=\phi(\mathbf{x}_0)；換句話說，\boldsymbol\nabla \phi(\mathbf{x}_0) 平行於該等位面在 \mathbf{x}_0 的法向量，
  2. \boldsymbol\nabla \phi 指向 \phi 的函數值增大的方向。

定理2（方向導數與梯度的關係）

若純量場 \phi(\mathbf{x}) 在 \mathbf{x} 可微，則

\displaystyle \nabla_{\hat{\mathbf{v}}}\phi(\mathbf{x})=\hat{\mathbf{v}}\boldsymbol\cdot\boldsymbol\nabla\phi

推論

\displaystyle\max\left\{\nabla_{\hat{\mathbf{v}}}\phi(\mathbf{x})\right\}=\left|\boldsymbol\nabla\phi(\mathbf{x})\right|=\sqrt{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2}

定理3（梯度運算法則）

設 \phi、\psi 為純量場，且 \lambda 為常數，則梯度有下列運算法則：

  1. \boldsymbol\nabla\lambda=\boldsymbol 0，
  2. \boldsymbol\nabla(\lambda\phi)=\lambda\boldsymbol\nabla\phi，
  3. \boldsymbol\nabla(\phi+\psi)=\boldsymbol\nabla\phi+\boldsymbol\nabla\psi（和法則），
  4. \boldsymbol\nabla(\phi\psi)=\psi\boldsymbol\nabla\phi+\phi\boldsymbol\nabla\psi（積法則），
  5. \boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\phi}{\psi}\right)=\dfrac{\psi\boldsymbol\nabla\phi-\phi\boldsymbol\nabla\psi}{\psi^2}（\psi\neq0），
  6. \boldsymbol\nabla \phi(\psi)=\dfrac{\text{d}\phi}{\text{d}\psi}\boldsymbol\nabla\psi。

評註

由以上公式看得出來，「梯度的運算法則」與「單變數函數的微分法則」是一致的，這反映了梯度的線性性質。

定理4（梯度常用公式）

設點的位置向量為 \mathbf{r}=x\hat{\boldsymbol\i}+y\hat{\boldsymbol\j}+z\hat{\mathbf{k}}，其量值為 r=|\mathbf{r}|，單位向量為 \hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}，又設 \mathbf{a}、\mathbf{b} 為常向量，f 是 r 的可微函數，則有以下常用公式：

  1. \boldsymbol\nabla r=\hat{\mathbf{r}}；
  2. \boldsymbol\nabla f(r)=\dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}\hat{\mathbf{r}}，這可導出許多公式，例如：
    • \boldsymbol\nabla r^n=nr^{n-1}\hat{\mathbf{r}}=nr^{n-2}\mathbf{r}，
    • \boldsymbol\nabla \dfrac{1}{r}=-\dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}=-\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}
    • \boldsymbol\nabla (\ln\mathbf{r})=r^{-1}\hat{\mathbf{r}}=r^{-2}\mathbf{r}；
  3. \boldsymbol\nabla (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})=\mathbf{a}；
  4. \boldsymbol\nabla (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot(\mathbf{b}\boldsymbol\times\mathbf{r}))=\mathbf{a}\boldsymbol\times\mathbf{b}。

證明

  1. 用直角坐標表示 \mathbf{r}，並用梯度的定義計算，\begin{aligned}\boldsymbol\nabla r&=\left(\hat{\boldsymbol\i}\frac{\partial}{\partial x}+ \hat{\boldsymbol\j}\frac{\partial}{\partial y}+ \hat{\mathbf{k}}\frac{\partial}{\partial z}\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\&=\frac{2x\hat{\boldsymbol\i}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{2y\hat{\boldsymbol\j}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{2z\hat{\mathbf{k}}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\&=\frac{x\hat{\boldsymbol\i}+y\hat{\boldsymbol\j}+z\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\hat{\mathbf{r}}\end{aligned}
  2. 使用定理3的第6條法則，取 \psi=r、\phi=f，並利用本定理的第1條公式，得到 \boldsymbol\nabla f(r)=\dfrac{\text{d} f}{\text{d}r}\boldsymbol\nabla r=\dfrac{\text{d} f}{\text{d}r}\hat{\mathbf{r}}。

二姐：散度

向量場在某個點的散度是指它從該點「發散的程度」。

定義3（散度）

三維直角坐標系中，向量場 \mathbf{A}(\mathbf{x})=A_x\hat{\boldsymbol\i}+A_y\hat{\boldsymbol\j}+A_z\hat{\mathbf{k}} 在點 \mathbf{x} 處的散度（divergence）是一個純量場，記為 \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A} 或 \text{div}\,\mathbf{A}，定義為

\displaystyle\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}

評註

  1. 嚴格說起來，散度最一般的定義需要引入通量（flux）的概念，才能展現它物理意義——代表向量場「發散」的程度；而上式只是在三維直角坐標系中的散度定義而已。

定理5（散度運算法則）

設 \mathbf{A}、\mathbf{B} 為向量場，\mathbf{c} 為常向量，\phi 為純量場，\lambda 為純量常數，則散度有下列運算法則：

  1. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{c}=0，
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\lambda\mathbf{A})=\lambda\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A} ，
  3. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A}+\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{B}（和法則），
  4. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\phi\mathbf{A})=\phi\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A}+(\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\cdot\mathbf{A} （積法則）

評註

這表明「散度的運算法則」與「單變數函數的微分法則」相仿。

定理6（散度常用公式）

設點的位置向量為 \mathbf{r}=x\hat{\boldsymbol\i}+y\hat{\boldsymbol\j}+z\hat{\mathbf{k}}，其量值為 r=|\mathbf{r}|，單位向量為 \hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}，又設 \mathbf{a}為常向量，f 是 r 的可微函數，則有以下常用公式：

  1. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{r}=3，
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot [f(r)\mathbf{r}]=3f(r)+r\dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}，
  3. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(r^n\mathbf{r})=(n+3)r^n，
  4. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}=4\pi\delta(\mathbf{r})，
  5. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\mathbf{a}\boldsymbol\times\mathbf{r})=0，
  6. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot[(\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}]=|\mathbf{a}|^2，
  7. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot[\mathbf{a}\boldsymbol\times(\mathbf{r}\boldsymbol\times\mathbf{a})]=2|\mathbf{a}|^2，

證明

  1. 直接算 \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3。
  2. 使用定理5的第4條，代入 \mathbf{A}=\mathbf{r}、\phi=f(r) 得到
    \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot (f(r)\mathbf{r})=f(r)\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{r} + \mathbf{r}\boldsymbol\cdot\boldsymbol\nabla f(r) = 3f(r) + \mathbf{r}\boldsymbol\cdot\left( \dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}\hat{\mathbf{r}}\right )=3f(r)+r\dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}
    其中也用到本定理第1條和定理4的第1條。
  3. 使用本定理第2條，代入 f(r)=r^n，得到
    \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot (r^n\mathbf{r})=3r^n+r\cdot nr^{n-1}=(n+3)r^n。
  4. 使用本定理第3條，代入 n=-3，得到 \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}=(-3+3)r^n=0。但是這在 \mathbf{r}=\mathbf{0} 時不成立，應該要用Dirac delta函數才能完整描述 \mathbf{r}/r^3 的散度，參見討論1、討論2。
  5. 令 \mathbf{a}=a_1\hat{\boldsymbol\i}+a_2\hat{\boldsymbol\j}+a_3\hat{\mathbf{k}}，則
    \mathbf{a}\boldsymbol\times\mathbf{r}=(a_2 z-a_3 y)\hat{\boldsymbol\i} + (a_3 x-a_1 z)\hat{\boldsymbol\j} + (a_1 y-a_2 x)\hat{\mathbf{k}}，
    取散度，得
    \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\mathbf{a}\boldsymbol\times\mathbf{r})=\dfrac{\partial}{\partial x}(a_2 z-a_3 y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(a_3 x-a_1 z) + \dfrac{\partial}{\partial z}(a_1 y-a_2 x)=0
  6. 承上，先算出 (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}=(a_1x+a_2y+a_z)(a_1\hat{\boldsymbol\i}+a_2\hat{\boldsymbol\j}+a_3\hat{\mathbf{k}})，
    再取散度，得
    \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot[(\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}]=a_1^2+a_2^2+a_3^2=|\mathbf{a}|^2。
  7. 由叉積之恆等式 \mathbf{a}\boldsymbol\times(\mathbf{b}\boldsymbol\times\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}，得 \mathbf{a}\boldsymbol\times(\mathbf{r}\boldsymbol\times\mathbf{a}) =(\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{a})\mathbf{r} - (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}，所以
    \begin{aligned} \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot[\mathbf{a}\boldsymbol\times(\mathbf{r}\boldsymbol\times\mathbf{a})] &= \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot[(\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{a})\mathbf{r} - (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}] \\&= |\mathbf{a}|^2 \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot \mathbf{r} - \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot[(\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}]\\&=3|\mathbf{a}|^2-|\mathbf{a}|^2=2|\mathbf{a}|^2 \end{aligned}
    這用到了本定理第1、5條的結果。

大姐：旋度

向量場在某個點的旋度是指它繞該點「旋轉的程度和旋轉的方向」。

定義4（散度）

三維直角坐標系中，向量場 \mathbf{A}(\mathbf{x})=A_x\hat{\boldsymbol\i}+A_y\hat{\boldsymbol\j}+A_z\hat{\mathbf{k}} 在點 \mathbf{x} 處的旋度（curl）是一個純量場，記為 \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A} 或 \text{curl}\,\mathbf{A}，定義為

\displaystyle\begin{aligned} \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A}&=\begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol\i} & \hat{\boldsymbol\j} & \hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z\end{vmatrix}\\&=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} \right )\hat{\boldsymbol\i}+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} \right )\hat{\boldsymbol\j}+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \right )\hat{\mathbf{k}}\end{aligned}

評註

  1. 與定義3類似，旋度最一般的定義需要引入環量（circulation）的概念，才能展現它物理意義——代表向量場「旋轉」的程度；而上式只是在三維直角坐標系中的旋度定義而已。

定理7（旋度運算法則）

設 \mathbf{A}、\mathbf{B} 為向量場，\mathbf{c} 為常向量，\phi 為純量場，\lambda 為純量常數，旋度有下列運算法則：

  1. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{c}=\mathbf{0}，
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times(\lambda\mathbf{A})=\lambda\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A} ，
  3. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A}+\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{B}（和法則），
  4. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times(\phi\mathbf{A})=\phi\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A}+(\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\times\mathbf{A}（積法則）。

評註

  1. 這表明「旋度的運算法則」與「單變數函數的微分法則」相仿。
  2. 與「散度的運算法則」（定理5）不同的地方：
    1. 常向量的散度是純量 0，常向量的散度是向量 \mathbf{0}；
    2. 純量場和向量場乘積 \phi\mathbf{A} 的散度和旋度，都有類似於單變數函數的乘積法則，是兩項之和，但前者是點積 (\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\cdot\mathbf{A}，後者是 (\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\times\mathbf{A}。

定理8 （旋度常用公式）

設點的位置向量為 \mathbf{r}=x\hat{\boldsymbol\i}+y\hat{\boldsymbol\j}+z\hat{\mathbf{k}}，其量值為 r=|\mathbf{r}|，單位向量為 \hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}，又設 \mathbf{a}、\mathbf{b} 為常向量，f 是 r 的可微函數，則有以下常用公式：

  1. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times \mathbf{r} = \mathbf{0}，
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times (f(r)\mathbf{r})=\mathbf{0}，
  3. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times (\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})=2\mathbf{a}，
  4. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times [(\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{r})\mathbf{b}]=\mathbf{a}\boldsymbol\times\mathbf{b}。

證明

  1. 直接算 \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol\i} & \hat{\boldsymbol\j} & \hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z\end{vmatrix}=0 \hat{\boldsymbol\i} + 0 \hat{\boldsymbol\j} + 0 \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{0}。
  2. 使用定理7的第4條，代入 \mathbf{A}=\mathbf{r}、\phi=f(r) 得到
    \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times(f(r)\mathbf{r})= f(r)\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{r} + (\boldsymbol\nabla f(r))\boldsymbol\times\mathbf{r} = \mathbf{0} + \left(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}\hat{\mathbf{r}}\right)\boldsymbol\times\mathbf{r}=\mathbf{0}

定理9（向量微分的四則運算）

設 \mathbf{A}、\mathbf{B} 都是向量場，\phi、\psi 為純量場。如果我們把函數的一般乘法（如 \phi\psi、\phi\mathbf{A}）、點積 \mathbf{A}\boldsymbol\cdot\mathbf{B}、叉積 \mathbf{A}\boldsymbol\times\mathbf{B} 都視為某種的乘法，則向量微分 \boldsymbol\nabla、\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot 、\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times 可歸納出四則運算法則。

和法則、差法則

以下向量微分的和法則分別取自定理3之3、定理5之3、定理7之3，搭配各自的純量乘法（定理3之2、定理5之2、定理7之2）就可以證得各自的差法則，因此我們直接把 + 改成 \pm：

  1. \boldsymbol\nabla(\phi\pm\psi)=\boldsymbol\nabla\phi\pm\boldsymbol\nabla\psi（定理3之3），
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})=\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A}\pm\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{B}（定理5之3），
  3. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})=\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A}\pm\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{B}（定理7之3）。

積法則

梯度的積法則有兩個：

  1. \boldsymbol\nabla(\phi\psi)=\psi\boldsymbol\nabla\phi+\phi\boldsymbol\nabla\psi（定理3之4），
  2. \boldsymbol\nabla(\mathbf{A}\boldsymbol\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{A}\boldsymbol\times(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{B}) + \mathbf{B}\boldsymbol\times(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}) + (\mathbf{A}\boldsymbol\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B}\boldsymbol\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf{A}。

散度的積法則有兩個：

  1. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\phi\mathbf{A})=\phi\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A}+(\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\cdot\mathbf{A} （定理5之4），
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot(\mathbf{A}\boldsymbol\times\mathbf{B}) = \mathbf{B}\boldsymbol\cdot(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}) - \mathbf{A} \boldsymbol\cdot(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{B}) 。

旋度的積法則也有兩個：

  1. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times(\phi\mathbf{A})=\phi\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A}+(\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\times\mathbf{A}（定理7之4），
  2. \boldsymbol\nabla\boldsymbol\times(\mathbf{A}\boldsymbol\times\mathbf{B}) = (\mathbf{B}\boldsymbol\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf{A} -(\mathbf{A}\boldsymbol\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A}(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{B}) - \mathbf{B}(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A})。

本定理的第5、7、9條是新的，如果直接證明的話會頗為繁複，不妨在介紹「Levi-Civita符號」和「愛因斯坦求和符號」之後再行證明。

商法則

最後，若把本定理的第4、6、8條中的一個純量函數改成它的倒數，例如 \phi 改成 \phi^{-1}，則會得到商法則：

  1. \boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\phi}{\psi}\right)=\dfrac{\psi\boldsymbol\nabla\phi-\phi\boldsymbol\nabla\psi}{\psi^2}，
  2. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\left(\dfrac{\mathbf{A}}{\phi}\right)=\dfrac{\phi\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot\mathbf{A}-(\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\cdot\mathbf{A}}{\phi^2}，
  3. \boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\left(\dfrac{\mathbf{A}}{\phi}\right)=\dfrac{\phi\boldsymbol\nabla \boldsymbol\times\mathbf{A}-(\boldsymbol\nabla \phi)\boldsymbol\times\mathbf{A}}{\phi^2}。

定理10 （二次向量微分）

參考資料

  1. 鄒兆南（1997）。《向量與張量分析》。臺北市：中央圖書出版社。
  2. 林琦焜（2015）。〈圖解梯度、 散度與旋度〉，《數學傳播》，39，2。pp.30-35。[HTML版] [pdf版]
  3. 林琦焜（2007）。《向量分析》。臺中市：滄海。

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