位勢與場（上）

本文主要參考 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (4th edition), Pearson, ISBN 13: 978-0-321-85656-2 Section 10.1。

程度：中等／大學部二年級電磁學

在得到馬克士威方程組

$\begin{array}{lllll} \text{(i)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho, & & \text{(iii)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times \mathbf{E}=-\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\[10pt]\text{(ii)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{B}=0, & &\text{(iv)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{array}$ … (1)

之後，我們想要求它的通解。這就是說，給定任一時刻、任一點的電荷組態（包含電荷密度 $\rho(\mathbf{r},t)$ 和電流密度 $\mathbf{J}(\mathbf{r},t)$ ），如何求電場 $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ 與磁場 $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$ 。

1. 馬克士威方程組的位勢表述

靜態問題中的位勢表述

對於靜態問題（電荷組態不隨時間而改變， $\rho=\rho(\mathbf{r})$ 、 $\mathbf{J}=\mathbf{J}(\mathbf{r})$ ），馬克士威方程組化簡為

$\begin{array}{lllll} \text{(i)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho, & & \text{(iii)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{E}=0, \\[10pt]\text{(ii)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{B}=0, & &\text{(iv)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}. \end{array}$

依照場在靜態時的性質——電場的旋度為零、磁場的散度為零——我們可以引入「位勢」的概念——電位 $V$ 和磁向量位 $\mathbf{A}$ ，它們滿足

$\begin{array}{l}\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\boldsymbol\nabla V(\mathbf{r}),\\[10pt]\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}(\mathbf{r}). \end{array}$

這會讓「馬克士威方程組」變成「由四個泊松方程式組成的方程組」（參見 Griffiths §2.3.3、§5.4.1），我們原本要解「場」的方程式，現在變成在解「位勢」的方程式：

$\boxed{\begin{array}{l} \nabla^2 V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho,\\[10pt]\nabla^2 \mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}\end{array}}$

它們的解（設無窮遠的位勢為 $0$ ）是

$\begin{array}{l} \displaystyle V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\text{d}\tau',\\[15pt]\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J(\mathbf{r}')}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\text{d}\tau',\end{array}$

這兩個解其實就分別等價於「庫侖定律」和「必歐－沙伐定律」。

電動力學問題中的位勢表述

那麼，當電荷組態隨時間而改變時（電動力學情況），馬克士威方程組的通解是什麼？要回答這個問題就不容易了，畢竟電場的旋度不是零，不能把電場寫成 $\mathbf{E}=-\boldsymbol\nabla V$ 。不過幸好磁場的散度依舊是零，至少我們還可以把磁場寫成

$\boxed{\mathbf{B}=\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}},$ … (2)

把這代入馬克士威方程組 (1) 的 (iii) 式，得到

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A})$

或

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\left( \mathbf{E} + \dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right )=0$

既然括號裡的旋度為零，我們可以令它等於純量位勢 $V$ 的梯度的負值：

$\mathbf{E} + \dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\boldsymbol\nabla V$

或

$\boxed{\mathbf{E}=-\boldsymbol\nabla V-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}}$ … (3)

這樣我們就成功用「位勢」來表示「電場」，所以電場的問題又再度變成位的問題。

注意， (2) 式自動滿足 (1) 式的 (ii)，且 (3) 式自動滿足 (1) 式的 (iii)。畢竟我們是以 (1) 式的 (ii) 、 (iii) 為依據，才寫出 (2) 、 (3) 式的。

那麼 (2)、 (3) 式會與 (1) 式的 (i)、(iv) 相容嗎？來驗證一下！把 (3) 式代入 (1) 式的 (i)，得到

$\nabla^2\mathbf{E} + \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A}\right)=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho$ … (4)

這是一個新的方程式，給定 $\rho$ 、 $\mathbf{J}$ 時，可以解 $V$ 。它取代了靜態時的泊松方程式 $\nabla^2 V=\rho/\epsilon_0$ 。然後再把 (2)、(3) 式代入 (1) 式的 (iv)，得到

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J} - \mu_0\epsilon_0\boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\partial V}{\partial t} \right ) - \mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2}$

我們的目標是像 (4) 式那樣，把 $\mathbf{A}$ 表示成 $\rho$ 或 $\mathbf{J}$ 的方程式。為了製造出好整理的形式，我們可以對上式使用向量恆等式 $\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A})= \boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}$ ，就得出

$\left(\nabla^2\mathbf{A}-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} \right)-\boldsymbol\nabla\left( \boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}\right)=-\mu_0\mathbf{J}$ … (5)

(4) 式和 (5) 式等價於馬克士威方程式，我們原本要解「場」的方程式，現在再度變成在解「位勢」的方程式，這就是馬克士威方程式的位勢表述（Maxwell’s equations in potential formulation）。

2. 規範變換

我知道 (4)、(5) 式都很醜，不好解。但是，幸好這兩條方程式沒有定義出唯一的 $V$ 和 $\mathbf{A}$ ，也就是說，只要不影響到最終要解的 $\mathbf{E}$ 、 $\mathbf{B}$ ，我們就保有一定的自由來調整我們對 $V$ 和 $\mathbf{A}$ 的條件，這種自由叫做規範自由度（gauge freedom）。

我們有多少的自由能夠調整呢？假設我們有兩組位勢 $(V, \mathbf{A})$ 、 $(V', \mathbf{A}')$ 都對應到相同的電場和磁場。令

$\mathbf{A}'=\mathbf{A}+\boldsymbol\alpha,\qquad V'=V+\beta.$

因為 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}'$ 對應到相同的 $\mathbf{B}$ ，即

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}=\mathbf{B},\qquad \boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}'=\mathbf{B},$

兩者相減，得

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\boldsymbol\alpha=\mathbf{0}.$

這說明 $\boldsymbol\alpha$ 是某個純量 $\lambda$ 的梯度：

$\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\nabla\lambda.$ … (a)

又因為兩組位勢對應到相同的 $\mathbf{E}$ ，即

$-\boldsymbol\nabla V'-\dfrac{\partial\mathbf{A}'}{\partial t}=\mathbf{E},\qquad -\boldsymbol\nabla V'-\dfrac{\partial\mathbf{A}'}{\partial t}=\mathbf{E},$

兩式相減，得

$\boldsymbol\nabla\beta + \dfrac{\partial\boldsymbol\alpha}{\partial t}=\mathbf{0}$

或

$\boldsymbol\nabla\left(\beta + \dfrac{\partial \lambda}{\partial t}\right)=\mathbf{0}$

這說明 $(\beta+\frac{\partial \lambda}{\partial t})$ 這個量跟位置無關，它在空間中是均勻的，不過它有可能跟時間有關；我們把這個量稱為 $k(t)$ ，則

$\beta=-\dfrac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)$ … (b)

目前我們對 $\boldsymbol\alpha$ 和 $\beta$ 做出的限制，只有 (a)、(b) 兩式而已，而且 $\boldsymbol\alpha$ 和 $\beta$ 又是由兩個純量 $\lambda$ 、 $k(t)$ 所決定。既然 $k(t)$ 只是時間的函數，其梯度為零，我們其實可以把 $k(t)$ 吸收到 $\lambda$ 裡面， $\lambda$ 的新定義是舊的加上 $\int^t_0 k(t')\text{d}t'$ ，如此一來，就使 $\beta=-\dfrac{\partial \lambda}{\partial t}$ ，而依舊有 $\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\nabla\lambda$ 。於是我們得到

$\begin{aligned} \mathbf{A}'&=\mathbf{A}+\boldsymbol\nabla\lambda,\\V'&= V - \dfrac{\partial \lambda}{\partial t}. \end{aligned}$ … (7)

從這裡我們看出什麼？在空間中某區域內，對任一純量函數 $\lambda(\mathbf{r},t)$ 而言，如果我們同時把磁向量位 $\mathbf{A}$ 加上這函數的梯度 $\boldsymbol\nabla\lambda$ ，又從純量位 $V$ 減去這函數的時間變化率 $\partial \lambda/\partial t$ ，這都不會影響到此區域的電場 $\mathbf{E}$ 和磁場 $\mathbf{B}$ 。像 (7) 式這一類對 $V$ 和 $\mathbf{A}$ 的「調整」叫做規範變換（gauge transformations）。

有了規範變換，我們就有機會調整 $\mathbf{A}$ 和 $V$ ，尤其是 $\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A}$ 的部分，使(4)、(5) 式不會那麼醜。當然，不同的電動力學問題都有各自最合適、方便的規範變換。我們這裡介紹兩種規範變換。

庫侖規範

在靜磁學中，我們會選擇

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A}=0,$ … (8)

這就是庫侖規範（Coulomb gauge）。這樣 (4) 式會變成

$\nabla^2 V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho.$ … (9)

這就是我們熟悉的、 $V$ 的泊松方程式，我們已經知道怎麼解它了——設定無窮遠處有 $V=0$ ，則

$\displaystyle V(\mathbf{r},t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\text{d}\tau'$ … (10)

注意這跟靜電學中的純量勢不同，這裡的位勢和電荷密度都含有時間，而且是當下的時間。這裡有個怪怪的地方，就是宇宙中一處電荷密度改變的會立刻影響到其他點的位勢，這聽起來違反相對論中「電磁資訊以光速行進」的假設。不過，其實我們去做實驗測量到的東西是 $\mathbf{E}$ ，不是 $V$ ；而且在電動力學中， $\mathbf{E}$ 也涉及 $\mathbf{A}$ ，在庫侖規範下， $V$ 的確會即時反應所有的 $\rho$ 變化， $\mathbf{E}=-\boldsymbol\nabla V-(\partial\mathbf{A}/\partial t)$ 卻不會這樣！ $\mathbf{E}$ 會等一段時間讓，才會變化。參考 O. L. Brill and B. Goodman. Am. J. Phys. 35, 832 (1967); doi: 10.1119/1.1974261 和 J. D. Jackson. Am. J. Phys. 70, 917 (2001); doi: 10.1119/1.1491265。

另外，用了庫侖規範後，(5) 式會變成

$\left(\nabla^2\mathbf{A}-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} \right)=-\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\boldsymbol\nabla\left( \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}\right),$ … (11)

跟 (5) 式本身比起來，這並沒有好到哪裡去。庫侖規範的優點就是 $V$ 很好算，缺點就是 $\mathbf{A}$ （跟 $V$ 比起來）很難算。

勞倫茲規範

勞倫茲規範（Lorenz gauge）是這樣訂的：

$\boxed{\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A}=-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial t}},$ … (12)

這樣代入 (5) 式會消掉中間的一項，變成

$\nabla^2\mathbf{A} -\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0\mathbf{J};$ … (13)

代入 (4) 式會變成

$\nabla^2 V -\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\dfrac{1}{\rho}\epsilon_0.$ … (14)

我們看得出來，(13) 、(14) 式非常對稱，而且都是由同一個運算子 作用在其中一種位勢上，得到其中一種電荷組態。這種運算子叫做達朗貝爾運算子（d’Alembertian）：

$\boxed{\square^2\equiv\nabla^2-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}}.$ … (15)

它讓 (13)、(14) 式化成

$\boxed{\begin{array}{l}\square^2V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho\\[10pt]\square^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}\end{array}}$ … (16)

平等對待 $V$ 和 $\mathbf{A}$ 這種做法，非常適合在狹義相對論的脈絡下來使用，因為在狹義相對論中，拉普拉斯運算子 $\nabla^2$ 自然而然會推廣成達朗貝爾運算子 $\square^2$ ，而 (16) 式可以視為泊松方程式的四維版本。同樣的道理，波動方程式 $\square^2 f=0$ 可以視為拉普拉斯方程式的四維版本。

在勞倫茲規範下， $V$ 和 $\mathbf{A}$ 滿足非齊次波動方程式（inhomogeneous wave equation），等式的右邊是一個非零項，代表著「波源」，也就是隨時間變化的電荷組態。從現在起我們即採用勞倫茲規範，於是整個電動力學的問題變成是在解「給定波源的非齊次波動方程式」。

題外話一下，勞倫茲規範的「勞倫茲」是紀念丹麥物理學家 Ludvig Lorenz，不是荷蘭物理學家 Hendrik Lorentz（也就是提出 Lorentz 轉換的那個）。這兩個姓氏發音一樣，大概是同一日耳曼姓氏的變體吧！

而且可能因為 Lorentz 比較有名、有拿諾貝爾獎，Lorenz 的貢獻也被他吸收了，勞倫茲規範長期被叫成 Lorentz gauge，直到近年來才「正名」，參考 Griffiths，p.441 的註腳2。這個軼聞告訴我們，如果你在學界有了些貢獻，趕快去改個獨特的姓名，才不會跟別人搞混。

A blue-sky wanderer

位勢與場（上）