位勢與場（中）

本文主要參考 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (4th edition), Pearson, ISBN 13: 978-0-321-85656-2 Section 10.2。

程度：中等／大學部二年級電磁學

複習一下，在位勢與場（上）的最後，我們選用勞倫茲規範，使馬克士威方程式的位勢表述有了較簡潔的形式：

$\square^2V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho,\qquad \square^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J},$ … (16)

上式也是一個非齊次波動方程式。對於靜態情況，上式會簡化成四個泊松方程式：

$\nabla^2 V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho,\qquad \nabla^2 \mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}.$

這些位勢的解是

$\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\\[15pt]\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J(\mathbf{r}')}}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\end{array}$ … (24)

其中 $\mathscr{R}\equiv|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ ，另外 $\boldsymbol{\mathscr{R}}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ ，還有 $\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}=\boldsymbol{\mathscr{R}}/\mathscr{R}$ 。

1. 推遲時間

現在我們回來討論非靜態情況。空間中每個地方的電荷組態（電荷密度和電流密度）正在 $\mathbf{r}'$ 隨時間變動，造成各地的電場 $\mathbf{E}$ 與磁場 $\mathbf{B}$ （或電位 $\rho$ 與磁向量位 $\mathbf{A}$ ）也隨時間變動，像是傳遞出去的「訊息」，這其實就是電磁波，電磁波的波源就是那些變動中的電荷組態。

既然 (16) 式告訴我們電磁「訊息」是以光速 $c$ 傳遞，那麼各地波源當下（ $t$ 時刻）的狀態就不重要，更早之前的狀態才比較重要。我們不妨更明確定義這種「更早之前」——把電磁「訊息」離開 $\mathbf{r}'$ 的時刻稱為推遲時間（retarded time），符號記為 $t_r$ 。因為「訊息」傳遞的距離為 $\mathscr{R}=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ ，時間延後了 $\mathscr{R}/c$ 才抵達 $\mathbf{r}$ ，所以計算推遲時間的公式為

$\boxed{t_r\equiv t-\dfrac{\mathscr{R}}{c}.}$ … (25)

有了推遲時間的概念，非靜態情況的位勢可以「很自然地」由 (24) 式推廣出來：

$\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r},t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\\[15pt]\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{\mathscr{R}}\text{d}\tau'.\end{array}$ … (26)

這些稱為推遲勢（retarded potentials），這裡的 $\rho(\mathbf{r}',t_r)$ 和 $\mathbf{J}(\mathbf{r}',t)$ 分別是推遲時間在 $t_r$ 、源位置在 $\mathbf{r}'$ 的電荷密度和電流密度。

為什麼我要替「很自然地」加上引號？因為，有關 $V$ 和 $\mathbf{A}$ 的 (26) 式真的合理嗎？畢竟我們也沒有直接去推導它，只用一個啟發式的論證（電磁消息以光速傳遞），就寫出了看似可行的 (26) 式。其實，當我們用同樣的手法來推廣 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ ，實際上就行不通了：

$\begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)\neq\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2}\text{d}\tau',\\ [15pt]\displaystyle\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\neq\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J(\mathbf{r}',t_r)\boldsymbol\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}}{\mathscr{R}^2}\text{d}\tau'.\end{array}$

為了證明 (26) 式確實是真的，必須要確認它是否滿足非齊次波動方程式 (16) 式。

證明 (26) 式滿足 (16) 式

願意相信 (26) 式、不在乎證明或是趕時間的人，可以跳過這段，直接看關於「領先位勢」的評論。

方法一

因為 $V$ 和 $\mathbf{A}$ 在 (26) 式中的角色其實差不多，所以只要證明那樣的 $V$ 滿足 (16) 式的第一式， $\mathbf{A}$ 也就自動滿足 (16) 式的第二式了。

回憶一下 (16) 式的第一式：

$\square^2V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho$ … (16)

其中達朗貝爾算子（d’Alembertian）是

$\displaystyle\square^2\equiv\nabla^2-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}=\nabla^2-\frac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}$

因為光速 $c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$ 。

先計算 $\boldsymbol\nabla V$ ，計算時應注意一個重點，就是 (26) 式第一式中的被積函數有兩個地方跟 $\mathbf{r}$ 有關：一個比較明顯，在分母 $\mathscr{R}$ ；一個比較不明顯，在分子的 $t_r=\mathscr{R}/c$ ，所以

$\displaystyle\boldsymbol\nabla V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left(\frac{\boldsymbol\nabla\rho}{\mathscr{R}}+\rho\boldsymbol\nabla\frac{1}{\mathscr{R}}\right)\text{d}\tau',$ … (27)

(27) 式被積函數中的第一項有 $\boldsymbol\nabla\rho$ ，可計算如下：

$\displaystyle\begin{aligned}\boldsymbol\nabla\rho&=\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\boldsymbol\nabla t_r=\frac{\partial \rho}{\partial t}\boldsymbol\nabla \left(t-\frac{\mathscr{R}}{c}\right)\\&=-\frac{1}{c}\dot{\rho}\boldsymbol\nabla\mathscr{R}=-\frac{1}{c}\dot{\rho}\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}},\end{aligned}$ … (28)

這裡我們使用 $\dfrac{\partial }{\partial t_r}=\dfrac{\partial }{\partial t}$ 以及向量分析的一些定理：

定理3之6：對於純量場 $\psi$ 、 $\phi=\phi(\psi)$ ，有 $\boldsymbol\nabla\phi(\psi)=\dfrac{\text{d}\phi}{\text{d}\psi}\boldsymbol\nabla\psi$ ，
定理4之1：對於位置向量 $\mathbf{r}$ ，有 $\boldsymbol\nabla r=\hat{\mathbf{r}}$ ；

另外 (27) 式被積函數中的第二項 $\boldsymbol\nabla(1/r)$ 也用到定理4之2的 $\boldsymbol\nabla\frac{1}{r}=-\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$ ，所以 (27) 式化成

$\displaystyle\boldsymbol\nabla V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left(-\frac{\dot{\rho}}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}}-\rho\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2}\right)\text{d}\tau',$ … (29)

再計算 $\nabla^2 V$ ，也就是取 (29) 式的散度，需用到定理5之4「散度的積法則」：

$\displaystyle\begin{aligned}\nabla^2 V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int&\left\{-\frac{1}{c}\left[(\boldsymbol\nabla\dot{\rho})\boldsymbol\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}} + \dot{\rho}\;\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}}\right)\right]\right. \\& \hspace{1em}\left.-\left[(\boldsymbol\nabla\rho)\boldsymbol\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2} + \rho\;\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2}\right)\right]\right\}\text{d}\tau'.\end{aligned}$

上式被積函數中的第一項有 $\boldsymbol\nabla\dot{\rho}$ ，這可以按照 (28) 式的方法得到

$\displaystyle\boldsymbol\nabla\dot{\rho}=-\frac{1}{c}\ddot{\rho}\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}};$ … (28′)

利用定理6之3 $\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot(r^n\hat{\mathbf{r}})=(n+2)r^{n-1}$ ，代入 $n=-1$ 得到第二項是

$\displaystyle-\frac{\dot{\rho}}{c}\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}}\right)=-\frac{\dot{\rho}}{c}\frac{1}{\mathscr{R}^2};$

第三項利用 (28) 式得到

$\displaystyle (\boldsymbol\nabla\rho)\boldsymbol\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2}=-\frac{\dot{\rho}}{c}\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}\boldsymbol\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2} = -\frac{\dot{\rho}}{c}\frac{1}{\mathscr{R}^2},$

所以第三項剛好跟第二項抵消；第四項可用到定理6之4：

$\displaystyle\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2}\right)=4\pi\delta^3(\boldsymbol{\mathscr{R}});$

綜合以上論述，整理各項，就得到

$\displaystyle\begin{aligned}\nabla^2 V&=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left[\frac{1}{c^2}\frac{\ddot{\rho}}{\mathscr{R}}-4\pi\rho\delta^3(\boldsymbol{\mathscr{R}})\right]\text{d}\tau'\\&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r'},t_r)}{\mathscr{R}}\text{d}\tau'\right]-\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho(\mathbf{r'},t_r)\delta^3(\boldsymbol{\mathscr{R}})\,\text{d}\tau'\\&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}-\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\mathbf{r},t),\end{aligned}$

這推得

$\displaystyle\nabla^2 V-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}=\frac{1}{\epsilon_0}\rho,$

我們發現 $V$ 對 $t$ 的二次導數不用做就自己跑出來了，至此我們已經證明 (26) 式的推遲勢滿足(16) 式的非齊次波動方程式！

方法二

這是一個間接而簡潔的證法。詳見 M. A. Heald and J. B. Marion, Classical Electromagnetic Radiation, 3d ed., Sect. 8.1 (Orlando, FL: Saunders (1995))。

證明 (26) 式滿足 (12) 式

$\boxed{\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{A}=-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial t}}$ … (12)

是勞倫茲規範的條件（見本文上篇）。

領先位勢

其實有關於推遲勢的證明也適用於領先勢（advanced potential）

$\begin{array}{l}\displaystyle V_a(\mathbf{r},t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_a)}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\\[15pt]\displaystyle \mathbf{A}_a(\mathbf{r},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_a)}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\end{array}$ … (30)

其中電荷密度和電流密度取值於領先時間（advanced time）

$\boxed{t_a\equiv t+\dfrac{\mathscr{R}}{c}.}$ … (31)

雖然領先位勢的概念完全與馬克士威方程組，但卻違反了所有物理學中的神聖教條——因果律（principle of casuality）。領先位勢暗示現在的位勢取決於將來某一時刻的電荷和電流分佈，換句話說，就是「果先於因」（the effect precedes the cause）。儘管會被某些理論所採用，領先位勢仍沒有直接的物理意義。

因為達朗貝爾算子 $\square^2$ 中有 $\dfrac{\partial ^2}{\partial t^2}$ ，所以它是時間反演不變的（time-reversal invariant），或稱時間反演對稱（time-reversal symmetry），也就是說在時間反演變換 $T:t\mapsto -t$ 下，含有它的方程式不會改變其形式。

當我們選擇用推遲勢而不是用領先勢，其實就承認時間反演不對稱，這反映出我們（並非不合理地）相信電磁波隨時間向前傳而不是向後傳。

2. 傑斐緬柯方程式

確定了推遲勢

$\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r},t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\text{d}\tau',\\[15pt]\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\text{d}\tau',\end{array}$ … (33)

之後，原則上可以直接去算出場：

$\displaystyle\mathbf{E}=-\boldsymbol\nabla V-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},\qquad \mathbf{B}=\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}.$ … (34)

它們的計算過程沒有那麼直接，原因跟前面講過的一樣，被積函數有兩處跟 $\mathscr{R}$ 有關。

但電場的計算過程其實也沒有冗長到哪裡去，因為 $\boldsymbol\nabla V$ 已經算過了，就是 (29) 式，而 $\mathbf{A}$ 對時間的導數也很簡單，就是

$\displaystyle\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\dot{\mathbf{J}}}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',$ … (35)

所以電場如下（使用 $c^2=1/\mu_0\epsilon_0$ ）：

$\displaystyle\boxed{\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left[ \frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{\mathscr{R}^2}\hat{\mathscr{R}} + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',t_r)}{c\mathscr{R}}\hat{\mathscr{R}} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',t_r)}{c^2\mathscr{R}}\right]\text{d}\tau'},$ … (36)

這就是庫侖定律的含時（time-dependent）廣義版本。在靜態情況下， $\dot{\rho}=0$ 、 $\dot{\mathbf{J}}=\mathbf{0}$ ， $\rho$ 不再與 $t_r$ 有關，(32) 式就簡化為庫侖定律。

計算磁場就是計算 $\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A}$ ，根據定理7之4「旋度的積法則」，這會有兩項：

$\displaystyle\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\frac{1}{\mathscr{R}}(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{J})-\mathbf{J}\boldsymbol\times\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\mathscr{R}}\right)\right]\text{d}\tau'.$

計算 $\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{J}$ 的 $x$ 分量：

$\displaystyle(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{J})_x = \frac{\partial J_z}{\partial y} - \frac{\partial J_y}{\partial z},$

其中右邊每項都可像 (28) 式那樣寫成

$\displaystyle \frac{\partial J_z}{\partial y} = \dot{J}_z\frac{\partial t_r}{\partial y} = -\frac{1}{c}\dot{J}_z\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial y},$

所以

$\displaystyle\begin{aligned}(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{J})_x &= -\dfrac{1}{c}\left(\dot{J}_z\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial y} - \dot{ J}_y\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial z}\right) \\&= \dfrac{1}{c}\left[\dot{\mathbf{J}}\boldsymbol\times(\boldsymbol\nabla\mathscr{R})\right]_x=\dfrac{1}{c}\left(\dot{\mathbf{J}}\boldsymbol\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}\right)_x,\end{aligned}$

以此可類推 $y$ 、 $z$ 分量，所以

$\displaystyle\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{J}=\dfrac{1}{c}\dot{\mathbf{J}}\boldsymbol\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}.$ … (37)

另一方面， $\boldsymbol\nabla\boldsymbol(1/\mathscr{R})=-\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}/\mathscr{R}^2$ ，因此

$\displaystyle\boxed{\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{\mathscr{R}^2}+\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',t_r)}{c\mathscr{R}}\right]\boldsymbol\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}\text{d}\tau'}.$ … (38)

這就是必歐－沙伐定律的含時廣義版本，靜態情況下（ $\dot{\mathbf{J}}=\mathbf{0}$ ）它就簡化為必歐－沙伐定律。

(36) 式和 (38) 式合稱傑斐緬柯方程式（Jefimenko’s equations），它可以說是馬克士威方程組（符合因果律）的解，也標誌著整個電磁學理論有個令人滿意的句點。雖然意義顯著，但傑斐緬柯方程式的用途其實有限，因為一般而言更容易的方法是先計算推遲勢，然後再微分它們。

(36) 式和 (38) 式也證實了我在第一節中所說的，推遲場的確不像推遲勢一樣，直接把靜電學或靜磁學位勢中的 $t$ 換成 $t_r$ 就可以了，它們還會添加新的項，這些新添的項與 $\dot{\rho}$ 、 $\dot{\mathbf{J}}$ 有關。再者，它們都能做到相當完美的準靜態（quasistatic）近似，就是當電荷密度或電流密度變化很緩慢時，我們可以忽略泰勒展開式的高階項，得到這樣的近似：

$\begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)\approx\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}{\mathscr{R}^2}\text{d}\tau',\\ [15pt]\displaystyle\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J(\mathbf{r}',t_r)\boldsymbol\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}}}{\mathscr{R}^2}\text{d}\tau'.\end{array}$

A blue-sky wanderer