Sin-iu

向量分析又稱向量微積分。學習電磁學或流體力學的人，一開始可能會被倒三角形的向量算子 $\boldsymbol\nabla$ 給嚇到，它可以帶有向量的性質，可以衍生出不同的微分運算——梯度（gradient）、散度（divergence）、旋度（curl）。清大物理系教「應用數學一」的洪在明教授把它們稱為「閃亮三姐妹」，梯度是小妹，散度是二姐，旋度是大姐，利用三姐妹的「地位」和「所站的位置」，就可以方便記憶像下面這種的積法則：

為什麼電磁學和流體力學會應用大量的向量分析？因為它們是處理「場」的學問，例如電磁學中有電場、磁場、電位、磁向量位。知名的馬克士威方程組最初是個二十個方程式的複雜方程組，使用向量分析「美顏」之後，變成對稱、優雅的現代版本：

「場」可以直觀地理解成「多變量函數」。簡單來說，只要你給「場」一組變量（例如空間中的座標、時間），「場」就給你唯一一個函數值（純量）或一組函數值（向量的各分量）。寫稍微抽象一點，場就是 $\mathbf{F}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 。在向量分析中，我們常常交替使用場和函數這兩種講法，指的都是同一種東西。

對於一個純量場，我們求它的梯度，會得到純量場「增加的程度和增加的方向」。對於一個向量場，我們如果去求它的散度和旋度，分別會得到向量場「發散的程度」和「旋轉的程度與旋轉的方向」。基本上我覺得三個名詞的中文翻譯都很到位。

本文我參考鄒兆南《向量與張量分析》和林琦焜《向量分析》的編排，重新列舉向量分析的定義、定理、公式，視情況提供證明，書中的部分記號也被我修改成物理、工程等領域比較習慣的形式。

本文的公式均使用直角坐標系（Cartesian coordinates）表示。

本文所提及的函數我都先預設成可微分（differentiable）而且是從 $\mathbf{R}^n$ 映射到 $\mathbf{R}^n$ ，如有例外再講明。~~對於非數學系的人來說，這種假設實在令我們鬆一口氣！XD~~

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翻譯、整理自 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (2nd edition)。

1. 簡介

磁學現象（magnetic phenomena）跟電學現象一樣，自古為人所知，但是磁學基本定律的發現卻沒有不如電學直接，長久以來也沒人建立磁學和電學兩者之間的關聯，這原因有很多，其中最根本的就是「沒有自由磁單極的存在」。

磁通量密度

磁學的基本實體是磁偶極（magnetic dipole）和磁場（magnetic field）。衡量磁偶極的物理量是磁矩（magnetic moment）；衡量磁場一種的物理量是磁通量密度（magnetic flux density），又叫磁感應（magetic induction），符號為 $\mathbf{B}$ 。在一般基礎物理教科書（如Halliday、Griffiths）裡，磁場只用 $\mathbf{B}$ 來代表，也不去區分 $\mathbf{B}$ 場和 $\mathbf{H}$ 場，但我們在這邊可能要特別留意在Jackson教科書中， $\mathbf{H}$ 場才叫做磁場，這到本文第7節會介紹。

在磁性物質中，磁偶極會偏向特定方向，就好像指南針在磁鐵周遭會偏轉一樣。只要磁偶極夠小不去影響到外加磁場，磁偶極偏轉的方向就是 $\mathbf{B}$ 的方向。磁通量密度的量值可以定義為單位磁矩所受到的力矩量值，其向量式為

$\mathbf{N}=\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}$ …(1)

其中 $latex\mathbf{N}$ 是力矩， $\boldsymbol{\mu}$ 是磁偶極的磁矩（簡稱磁偶極矩），它可以用某種適當的單位定義。(1) 式可類比於電偶極與電場的關係

$\mathbf{N}=\mathbf{p}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}$ …(2)

其中 $\mathbf{E}$ 是電場， $\mathbf{p}$ 是電偶極矩。

電流密度

一直要等到電流和磁場的關聯建立之後，定量的磁學定律才逐漸為人所知。電流的本質是運動的電荷，而運動的電荷又可以用電流密度（charge density） $\mathbf{J}$ 這種物理量來描述，它的量值等於單位時間內通過單位面積的單位正電荷量，其方向等於電荷運動的方向。

電流密度的量值 $J$ 跟電流強度（current intensity） $I$ 的關係是

$\displaystyle J=\lim_{a_\perp\to0}\frac{I}{a_\perp}$ … (3)

其中 $a_\perp$ 是某個曲面上一小塊面積元素投影於垂直電流方向的面積。簡單來說，電流密度就是單位面積的電流。雖然電流的概念在電路學中很實用，但在整個電動力學中還是更適合用電流密度。

電流密度的單位在靜電單位制（electrostatic units，縮寫ESU）中是「靜庫侖／公分²-秒（statcoulombs per square centimeter-second）」或「靜安培／公分²（statamperes per square centimeter）」，在MKSA制是「庫侖／公尺²-秒」。

電荷守恆定律

空間中任一點的電荷密度（charge density） $\rho$ 與附近的電流密度 $\mathbf{J}$ 之間存在一個連續性方程式：

$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{J}$ … (4)

這條方程式可以透過以下想法直觀得到：考慮一個體積很小的區域 $\mathcal{V}$ ，因為整個空間的總電荷必須守恆，所以「 $\mathcal{V}$ 裡面電荷隨時間減少的速率」應該等於「電荷從 $\mathcal{V}$ 的表面流出去的速率」。前者即是 $-\partial\rho/\partial t$ ，此偏導數或可稱為電荷時變率；因為電荷是在減少，這偏導數會小於零，所以我們加一個負號讓它變成正的。至於後者其實就是電流從 $\mathcal{V}$ 發散出去的程度，就是電流密度的散度（divergence） $\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{J}$ 。

穩定態

在靜磁學（magnetostatics）中我們要討論的是穩定態（steady-state）的磁學現象，也就是空間中到處都沒有淨電荷密度變化的情形，用數學式表達，就是

$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{J}=0$ … (5)

2. 必歐－沙伐定律

1819年奧斯特（Hans Christian Ørsted）發現，載流導線讓附近的永久磁偶極產生偏轉，因此電流是磁通量密度的一種來源。1820年到1825年，必歐（‎Jean-Baptiste Biot）、沙伐（Félix Savart）、安培（André-Marie Ampère）等人經由精心設計的實驗建立磁通量密度和電流之間的基本定律，其「現代版」的陳述如下。

如果 $\text{d}\mathbf{l}$ 是載流導線上的長度元素，指向電流方向，電流強度為 $I$ ， $\mathbf{x}$ 是從長度元素射向觀測點 $P$ 的位置向量，則 $P$ 點的磁通量密度 $\text{d}\mathbf{B}$ 的量值和方向可由下式給出：

$\displaystyle \text{d}\mathbf{B}=kI\frac{\text{d}\mathbf{l}\boldsymbol\times\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3}$ … (6)

這是一個平方反比定律，跟靜電學的庫侖定律 $\mathbf{E}=q\mathbf{x}/|\mathbf{x}|^3$ 一樣。不過它們向量的特性差很多。對於 $I\text{d}\mathbf{l}$ ，有時也會把電流方向歸於，於是出現 $\mathbf{l}\text{d}l$ 這種寫法，不管是哪種寫法，我們都可稱之為電流元素（current element），不過它不該被視為庫侖定律中點電荷 $q$ 的類比，而應該視為電荷與速度乘積 $q\mathbf{v}$ 的類比。至於這種類比在哪種情況下才適用，宜另闢篇幅來探討。

在 (6) 式中，常數 $k$ 的值取決於所採用的單位制。在MKSA制，這個 $k$ 會被寫成 $\mu_0/4\pi$ ， $\mu_0$ 是真空中的磁導率（magnetic permeability）。如果電流用靜電單位制，磁通量密度用電磁單位制（electromagnetic units，縮寫EMU），則 $k=1/c$ ， $c$ 為真空中的光速。這種單位制稱為高斯制（Gaussian sytyem）。等到從用相對論的觀點來考慮電磁學的時候，這個光速在方程式中的意義就會比較明顯了。

實驗證實磁通量密度有疊加性質，所以 (6) 式可以用來積分，這樣我們就可以去計算各種載流導線（current-carrying wire）配置在空間中產生的磁通量密度。以下提供一個例子。

載流長直導線造成的磁通量密度

載有穩定電流 $I$ 的長直導線，在與導線相距為 $R$ 的地方造成的 $\mathbf{B}$ 量值為

$\displaystyle |\mathbf{B}|=\frac{IR}{c}\int^\infty_{-\infty}\frac{\text{d}l}{\left(R^2+l^2\right)^{3/2}}=\frac{2I}{cR}$ … (7)

這才是必歐－沙伐定律最早的版本。靜電學中有個可與此類比的情形：

分布著均勻線電荷密度 $\lambda$ 的直線上，在與直線相距為 $R$ 的地方造成的 $\mathbf{E}$ 量值為

$\displaystyle |\mathbf{E}|=\lambda R\int^\infty_{-\infty}\frac{\text{d}l}{\left(R^2+l^2\right)^{3/2}}=\frac{2I\lambda}{R}$ … (8)

靜電學和靜磁學中經常會有這樣的對應，儘管兩者的向量性質差很多。

安培力定律

必歐和沙伐的實驗是測量載流導線造成的磁通量密度，安培的實驗是去測量載流導線之間的作用力，他建立的力定律（law of force）可描述如下。

外加磁感應 $\mathbf{B}$ 存在時，電流元素 $I\text{d}\mathbf{l}$ 感受到的力 $\text{d}\mathbf{F}$ 是

$\displaystyle \text{d}\mathbf{F}=\frac{I}{c}\left(\text{d}\mathbf{l}\boldsymbol\times\mathbf{B}\right)$ … (9)

這裡的 $I$ 採用ESU制， $\mathbf{B}$ 採用EMU制， $\mathbf{F}$ 採用CGS制。

安培力定律可以結合現代版必歐－沙伐定律 (6) 式，而擴展成更廣義的力定律。

若有封閉載流迴路#1，其電流強度為 $I_1$ ，又有封閉載流，其電流強度為 $I_2$ ，則迴路#2對迴路#1所施加的合力是

$\displaystyle \mathbf{F}_{12}=\frac{I_1I_2}{c}\oint\oint\frac{\text{d}\mathbf{I}_1\boldsymbol\times\left(\text{d}\mathbf{I}_2\boldsymbol\times\mathbf{x}_{12}\right)}{|\mathbf{x}_{12}|^3}$ … (10)

這個式子的迴路積分是先後繞著兩個迴路進行的；位移向量 $\mathbf{x}_{12}$ 是從線元素 $\text{d}\mathbf{l}_2$ 到 $\text{d}\mathbf{l}_1$ ，如圖3所示。(10) 式的被積函數

$\displaystyle \mathbf{F}_{12}=-\frac{\mu_0}{4\pi}I_1I_2\oint\oint\frac{\left(\text{d}\mathbf{I}_1\boldsymbol\cdot\text{d}\mathbf{I}_2\right)\mathbf{x}_{12}}{|\mathbf{x}_{12}|^3}$ … (10)

(10) 式或 (12) 式在可以積分得出來，卻在實務上很難應用。

3. 靜磁學的微分方程

磁學的高斯定律

由於在迴路#2中的 $I_2$ 而在某一點產生的總磁場是 $\displaystyle\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}I_2\oint\frac{\text{d}\boldsymbol{\ell}_2\boldsymbol{\times}\mathbf{x}_{12}}{|\mathbf{x}_{12}|^3}$ ，將 $\mathbf{x}_1$ 換成 $\mathbf{x}$ 、 $\mathbf{x}_2$ 換成 $\mathbf{x}'$ ，且令 $I_2\text{d}\ell_2 = \mathbf{J}\text{d}a\text{d}\ell_2$ ，則我們得到

$\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf{J}(\mathbf{x}')\boldsymbol{\times}\frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\text{d}^3x' \\&= \frac{\mu_0}{4\pi}\int\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\boldsymbol{\times}\mathbf{J}(\mathbf{x}')\text{d}^3x'\end{aligned}$

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