GAMMA函數

2019-11-21 Sin-iu 發表迴響

Gamma函數偶爾會出現在像是「庫侖波函數的歸一化」和「統計力學中的機率計算」之類的物理問題。不過，一般它不像Legrendre函數和Bessel函數一樣有直接的物理應用和詮釋。它的重要性出自於發展出其他有直接物理應用的函數。

8.1 定義、簡單性質

Gamma函數至少有三種常用且方便的定義。

無窮極限（歐拉）

這個Γ(z)的定義在求Γ(z)的Weierstrass無窮積形式（式(8.16)）時，以及在得出ln Γ(z)的導數時非常有用（8.1節）。在本章中，z可以是實數或虛數。用z+1取代z，我們有

$\displaystyle \Gamma(z) \equiv \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1\cdotp 2\cdotp 3\cdots n}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}n^{z}, z\neq 0,-1,-2,-3,\cdots$

微分方程

【微分方程導論】筆記9

2019-11-21 Sin-iu 發表迴響

Theorem 1

(the Laplace transform of the first derivative of $\textit{\textbf{f}}$ )
Suppose:
(1) $f$ is continuous on some interval and of exponential order $\alpha$ ; and
(2) $f'$ is piecewise continuous on some interval.
Then $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ exists for $s > \alpha$ and $\displaystyle \mathcal{L}{f'(t)} = s\mathcal{L}{f(t)} - f(0).$

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知識論

【知識論】Short Essay #8

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題目

Is there any way around the grue problem?

申論

我認為Nelson Goodman自己的說明足以解釋「格魯問題」(grue problem)，但還是不足以解決它，但我覺得也不需解決它。

為釐清一些術語，我們先重述問題。在時刻t之前，我們將編號i = 1, 2, …, n的綠寶石(emeralds)一一檢查，結果都檢查出每一個都是綠色的；依「格魯色」(grue)的定義，上述每一個綠寶石也都是格魯色。於是，我們就可進行以下歸納推論：由兩組證據(evidence) E_i、E_i′ （必須是n個非否定的單稱命題）

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