標籤彙整： potentials

電動力學

位勢與場（中）

2 則迴響

本文主要參考 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (4th edition), Pearson, ISBN 13: 978-0-321-85656-2 Section 10.2。

程度：中等／大學部二年級電磁學

複習一下，在位勢與場（上）的最後，我們選用勞倫茲規範，使馬克士威方程式的位勢表述有了較簡潔的形式：

\square^2V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho,\qquad \square^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}, … (16)

上式也是一個非齊次波動方程式。對於靜態情況，上式會簡化成四個泊松方程式：

\nabla^2 V=-\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho,\qquad \nabla^2 \mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}.

這些位勢的解是

\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\\[15pt]\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J(\mathbf{r}')}}{\mathscr{R}}\text{d}\tau',\end{array} … (24)

其中 \mathscr{R}\equiv|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| ，另外 \boldsymbol{\mathscr{R}}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'，還有 \hat{\boldsymbol{\mathscr{R}}}=\boldsymbol{\mathscr{R}}/\mathscr{R}。

繼續閱讀 位勢與場（中） →
電動力學

位勢與場（上）

發表迴響

本文主要參考 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (4th edition), Pearson, ISBN 13: 978-0-321-85656-2 Section 10.1。

程度：中等／大學部二年級電磁學

在得到馬克士威方程組

\begin{array}{lllll} \text{(i)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho, & & \text{(iii)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times \mathbf{E}=-\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\[10pt]\text{(ii)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{B}=0, & &\text{(iv)}&\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{array} … (1)

之後，我們想要求它的通解。這就是說，給定任一時刻、任一點的電荷組態（包含電荷密度 \rho(\mathbf{r},t) 和電流密度 \mathbf{J}(\mathbf{r},t)），如何求電場 \mathbf{E}(\mathbf{r},t) 與磁場 \mathbf{B}(\mathbf{r},t)。

繼續閱讀 位勢與場（上） →